Pesquisa Acadêmica em Andamento

Controle Ótimo

Análise Numérica e Simulação Computacional

  • Simulação eficiente de sistemas neurais Hodking-Huxley estocásticos
    Hugo A. de la Cruz Cancino

    O modelo de Hodking-Huxley é amplamente considerado para descrever como potenciais de acção nos neuronios são propagados. Na sua forma mais geral este modelo é definido através de um sistema de equações diferenciais parciais estocásticas não-linear. O desafio consiste em simular eficientemente o comportamento da solução de estas equações. Pretendemos propor métodos alternativos a métodos implícitos existentes. Nosso enfoque é baseado na adaptação de métodos exponenciais e método das linhas, combinados com o método dos subespaços de Krylov para o cálculo de exponenciais de matrizes de elevada dimensão. O estudo da convergência e estabilidade do método forma parte do nosso estudo.

    Colaboradores: Mateus Alvarenga (aluno de Mestrado da EMAp)

  • Métodos multi-passos para modelos diferenciais aleatórios
    Hugo A. de la Cruz Cancino

    As Equações Differencias Aleatórias (RDEs) são EDOs contendo um processo estocástico multidimensional Holder-contínuo no campo vetorial. Este tipo de equações constitui uma clase importante de modelos (sendo uma alternativa a modelos definidos por equaçoes diferencias estocásticas) posibilitando diversificar a incoporação de aleatoriedade em modelos determinísticos. Nossa pesquisa tem como objetivo construir métodos explicitos multi-passos de alta ordem para o estudo das trajetorias de soluções de RDEs e analizar a velocidade de convergencia e estabilidade dos mesmos. A construcção de algoritmos adaptativos também forma parte da pesquisa.

    Colaboradores: J.C. Jimenez (ICIMAF)

Análise Estocástica

  • Comportamento dinâmico de sistemas diferenciais estocásticos de segunda ordem
    Hugo A. de la Cruz Cancino

    Estudamos o comportamento a longo prazo de sistemas de equações estocásticas de segunda ordem. Em particular estamos interessados em osciladores acoplados não lineares perturbados estocasticamente por forças externas i.e, aditivas. Nosso objetivo é analizar e, de ser possível, caraterizar as propriedades assintóticas de estes sistemas.

    Colaboradores: R. J. Biscay (CIMAT), J.C. Jimenez (ICIMAF).

  • Controle estocástico ótimo com path-dependence
    Yuri Fahham Saporito

    Controle estocástico ótimo e jogos estocásticos com path-dependence – ligação com risco sistêmico e casos com delay no controle. Essa pesquisa começou com o estudo do caso com path-dependence no controle e a equação de Hamilton-Jacobi-Bellman correspondente. No momento, estamos estudando o conceito de solução de viscosidade das EDP com path-dependence que esse problema gera.

    No mesmo tópico, mas de um ponto de vista diferente, estamos estudando o problema de controle ótimo quando o delay no controle é maior que o horizonte de tempo. Isso se reduz ao caso de controle estocástico ótimo com controle determinístico. Isso se conecta com as EDEs de McKean-Vaslov.

    Colaboradores: Jianfeng Zhang (USC)

  • Cálculo Funcional de Itô
    Yuri Fahham Saporito

    Path-dependence é uma característica realista de diversos fenômenos naturais e sociais que a Matemática tenta modelar. No entanto, a maioria desses modelos, por limitações do ferramental matemático, não considera \textit{path-dependence} em suas descrições. Essa limitação foi enormemente diminuída com o advento do Cálculo Funcional de Itô, introduzido pelo renomado pesquisador Dr. Bruno Dupire em 2009 em seu artigo seminal.

    Essa teoria estende o Cálculo Estocástico de Itô para funções que dependem do caminho das quantidades subjacentes do modelo. Essas funções são chamadas de funcionais. Mais especificamente, duas derivadas funcionais foram introduzidas, uma no espaço e outra no tempo. A derivada funcional no espaço calcula a variação do funcional quando o caminho é perturbado por um choque no valor atual do caminho. Já a derivada funcional no tempo calcula a variação do funcional quando o caminho é perturbado por uma extensão constante do valor atual do caminho. Ambas derivadas, quando aplicadas a funcionais que dependem somente do valor atual do caminho subjacente (i.e. o caso usual do Cálculo Estocástico de Itô) são as derivadas parciais do cálculo diferencial de Newton e Leibniz.

    É importante notar que essas derivadas são não-antecipativas, i.e. elas não "olham" para o futuro do caminho que se está observando. Isso difere fundamentalmente de outro cálculo estocástico para funcionais, o importante Cálculo de Malliavin. Nessa teoria, também conhecida de cálculo estocástico variacional, se considera perturbações antecipativas do caminho.

Modelagem e Inferência Estatística

  • Testes de dependência condicional
    Eduardo Fonseca Mendes

    Neste projeto propomos um teste de independência condicional entre duas séries temporais estacionárias, fracamente dependentes, logo podendo ser aplicado para determinar dinâmica Markoviana ou não-causalidade. Nosso teste se baseia no fato que independencia condicional implica restrições na densidade e, portanto, o teste se resume a mostrar proximidade de funções de densidade de probabilidade. Nós utilizamos uma discrepância generalizada que pode tomar diversas formas, tais como Kullback-Leibler ou Hellinger. As densidades envolvidas são transformadas de tal forma que o seu suporte fique contido no hipercubo unitário, e utilizamos um kernel Beta para estimar as densidades.

    Colaboradores: Marcelo Fernandes (EESP/FGV)

Aprendizagem Estatística de Máquinas e Aplicações

  • Mistura de Especialistas: teoria e aplicações
    Eduardo Fonseca Mendes

    Misturas de especialistas (ou misturas-de-regressões, mistura de modelos condicionais) são modelos de mistura onde o objetivo é modelar a distribuição condicional de um vetor aleatório Y condicional em outro vetor X, usando pesos que dependem do valor de X. Estes modelos possuem divesas propriedades interessantes, tais como aproximação universal de densidades e taxas de convergência rápidas; são facilmente estimados utilizando algoritmos EM e métodos variacionais; e se [X,Y] é distribuído como uma mistura de modelos, a distribuição condicional de Y|X é uma mistura de especialistas. Neste projeto eu busco entender propriedades de convergência dessa classe de modelos e desenvolver técnicas para seleção do modelo.

    Colaboradores: Wenxin Jiang (Northwestern University)

  • Criptomoedas e tecnologias Blockchain
    Flávio Codeço Coelho, Renato Rocha Souza, Yuri Fahham Saporito

    Estudo dos modelos de funcionamento de criptomeoedas suas dinâmicas de mercado. Além das criptomoedas estudamos também as variadas aplicações da tecnologia de Blockchain como smart-contracts, e as diferentes provas usadas na mineração de blocos.

Computação Gráfica, Visualização de Informação e Aplicações

Finanças Quantitativas

  • Estimação de modelos de volatilidade estocástica usando métodos de reconstrução de volatilidade
    Rodrigo dos Santos Targino e Yuri Fahham Saporito

    Aplicação da teoria desenvolvida por Malliavin, Mancino e Teichmann ao modelo de Heston em vários problemas: estimação, fator de Bayes, hedge em mercado incompleto.

    Colaboradores:  Milan Merkle (University of Belgrade)

  • Estimação de séries financeiras de parâmetros implícitos nas superfícies de volatilidade implícita
    Rodrigo dos Santos Targino e Yuri Fahham Saporito

    Este trabalho está divido em duas vertentes. Na primeira utilizamos modelos do tipo GAS (Generalized Autoregressive Score models) para modelar a evolução dos parâmetros implícitos nas superfícies de volatilidade e na outra utilizamos técnicas de processos Gaussianos com múltiplos outputs.

    Colaboradores: Fábio Ramos (UFRJ/DMA)

Econometria

  • Modelos de cointegração com transição suave
    Eduardo Fonseca Mendes

    Modelos de transição de regimes são popularmente usados para analisar séries univariads e multivariadas, em particular para capturar assimetrias. Na maioria dos casos, estes modelos são aplicados a séries estacionárias onde todos os regressores são fracamente exógenos. Estudos anteriores consideraram modelos de cointegração dinâmicos onde a variável de transição é não estacionária. Neste trabalho estudamos cointegração com transição suave, onde a variável de transição é estacionária. Nós derivamos o modelo, testes de linearidade e propriedade assintóticas dos estimadores de mínimos quadrados não-lineares (tradicional e dinâmico). Este modelo é interessante para modelar, por exemplo, preços usando a volatilidade do preço de comodities como variável de transição.

    Colaboradores: Marcelo Medeiros (PUC-Rio), Les Oxley (University of Waikato)

  • Estimando modelos esparsos com dependência
    Eduardo Fonseca Mendes

    Esparsidade é uma das formas de lidar com problemas de estimação de modelos em alta dimensão, onde o número de parâmetros é maior do que o número de observações disponível. Mais precisamente, modelos esparsos são aqueles cujo vetor de parâmetros possui apenas alguns valores diferentes de zero. Existem diversas técnicas de regularização, para estimar tais modelos, dentre elas uma das mais populares é o LASSO. O LASSO (Least Absolute Selection and Shrinkage Operator) impõe uma penalização L1 nos parâmetros e possui a propriedade de recuperar a esparsidade do modelo. O LASSO, assim como outras técnicas, foram desenvolvidas sob condições clássicas de modelos de regressão linear, que não são adequadas para dados com dependência, tais como séries temporais e modelos longitudinais. Neste projeto, buscamos (1) estudar as propriedades do LASSO e métodos derivados em séries temporais sob diversas especificações; (2) propor extensões às técnicas existentes e novas técnicas para estimação esparsa sob dependência; (3) desenvolver técnicas para seleção dos hiperparâmetros; (4) Desenvolver extensões do LASSO para modelos painel com muitos efeitos fixos.

    Colaboradores: Marcelo Medeiros (PUC-Rio), Ricardo Masini (EESP/FGV), Thiago R. Teixeira Ferreira (Federal Reserve DC) 

  • Análise econométrica de dados da Petrobras para o estudos do impacto da corrupção no preço da ação da empresa
    Rodrigo dos Santos Targino e Yuri Fahham Saporito

    Neste projeto pretendemos separar, de forma quantitativa, o impacto no valor de mercado da Petrobras de: (1) denúncias de corrupção levantadas pela operação Lava Jato e (2) quedas maciças no preço do barril de petróleo no mercado internacional.

Gestão de Riscos Financeiros e Atuariais

  • Estudo sobre modelos de Risk Parity sob hipóteses realistas
    Rodrigo dos Santos Targino

    O objetivo deste projeto é entender a performance de portfolios do tipo “Risk Parity” (RP) sob hipóteses mais realistas do que “retornos financeiros seguem uma distribuição Gaussiana multivariada”. Uma consequência direta deste projeto será a de esclarecer a real utilidade deste tipo de estratégia de investimento, que é dita ter algo entre US$150 bilhões e US$1,5 trilhões ao redor do planeta, e entender os motivos das perdas substanciais incorridas em Maio/2013 e no final de 2015.

  • Modelagem Bayesiana, amostragem de Monte Carlo e alocação de capital para riscos atuariais
    Rodrigo dos Santos Targino

    O objetivo principal deste trabalho é desenvolver um detalhado passo-a-passo do desenvolvimento e aplicação de uma nova classe de métodos de Monte Carlo para resolver problemas importantes enfrentados por seguradoras que seguem as recém atualizadas diretivas regulatórias. Em particular, estudamos um novo algoritmo de Monte Carlo para calcular a alocação (coerente) de capital de uma compania de seguros do ramo não-vida. Este projeto tem foco principal em empresas que seguem a regulação Suiça, o chamado Swiss Solvency Test (SST). Note que no Brasil há atualmente a discussão se estas diretivas serão adotadas pelo regulador brasileiro (a Superintendência de Seguros Privados – SUSEP).

    Colaboradores: Gareth W. Peters (UCL) e Mario V. Wüthrich (ETH).