Linhas de Pesquisa

As redes (ou grafos) são conjuntos de objetos e das conexões entre eles. Por serem bem gerais é muito frequente que fenômenos das mais diversas áreas sejam modelados por uma rede. Os exemplos são fáceis de encontrar no nosso cotidiano: redes sociais e suas relações de amizade, rede das páginas da internet e seus links, redes de artigos científicos e suas citações, etc. De particular interesse são as redes que estão por trás de sistemas complexos. Chamamos de sistema complexo aqueles onde, através da atuação de cada elemento do sistema, influenciando e sendo influenciado pelos demais elementos por suas conexões, emergem comportamentos do sistema como um todo. Os exemplos são também fartos e variados e claramente ligados às suas redes: mercado financeiro, trânsito e mobilidade em cidades, ecossistemas, “sociologia” dos periódicos científicos, cérebro humano, etc...

Portanto, o interesse por sistemas complexos e suas redes é comum a diversas áreas da matemática aplicada.

Na EMAp, a linha de redes complexas estuda os modelos matemáticos de redes, junto com ferramentas de simulações e análises.

Um exemplo de pesquisa nesta linha é a tese de doutorado do professor Walter Sande. 

A análise numérica é a área da matemática que cria, analisa e implementa algoritmos para resolver problemas da matemática continua. Em particular nesta linha de pesquisa o foco é no ramo das equações diferenciais, em particular aleatórias (RDEs) e estocásticas (EDEs). A teoria de EDEs e RDEs são temas, no cruzamento das equações diferenciais e processos estocásticos, com uma ampla variedade de aplicações na modelagem de fenômenos e situações práticas em que as grandezas de interesse estão sujeitas a perturbações aleatórias. Uma vez que obter soluções dessas equações é raramente possível, muita atenção é dada à construção e estudo de métodos de aproximação, com boas propriedades qualitativas, para a integração e simulação das mesmas.

A solução de sistemas de equações lineares é omnipresente em Análise numérica. Essa questão é especialmente complicada no caso de sistemas de grande dimensão. Nós interessamos igualmente nessa linha à resolução de tais sistemas, através do uso de algoritmos cooperativos, propícios à paralelização das computações.

Nesta linha, nossos interesses de pesquisa incluem os seguintes tópicos:

• Construção e análise de novos métodos para a aproximação de trajetórias (aprox. forte)  e de funcionais da solução (aprox. fraca) de EDEs
• Construção de métodos de alta ordem de convergência, para o tratamento numérico-computacional de RDEs
• Análise qualitativa de métodos de discretização para EDEs e RDEs
• Métodos exponenciais estáveis para sistemas stiff
• Simulação de Equações Diferenciais Parciais Estocásticas
• Integração eficiente de sistemas estocásticos de altas dimensões

Um modelo estatístico é uma classe de modelos matemáticos que incorparam hipóteses sobre a processo gerador dos dados, ou a população. Normalmente, modelos estatísticos consideram formas idealizadas deste processo. Inferência estatística é o processo de tirar conclusões sobre o processo gerador ou a população baseando-se apenas nas amostras em mão.

De forma geral, esta linha de pesquisa se divide em aspectos teóricos, metodológicos e aplicados envolvendo análise de dados. Mais precisamente, os pesquisadores da EMAp estão interessados nos seguintes focos:

• Estimação de séries temporais em alta dimensão;
• Modelagem de séries temporais não lineares;
• Testes não-paramétricos;
• Simulação Monte Carlo para inferência Bayesiana;
• Inferência estatística para problemas de otimização estocásticos avessos ao risco ou risco neutros (teoremas do limite central, testes de hipóteses, intervalos de confiança não assintóticos).;
• Testes de hipóteses não paramétricos usando técnicas de otimização convexa.

A Computação Gráfica é a área de estudo dedicada à geração de imagens digitais. Dividindo em sub-áreas temos:

• Síntese de Imagens: trata de técnicas para geração, manipulação e interpretação de modelos e imagens de objetos utilizando computador. Inclui Modelagem Geométrica, Animação, Simulação Visual e Realidade Virtual.
• Processamento de Imagens: trata das técnicas de transformação de imagens em novas imagens, modificando a sua representação visual.
• Análise de Imagens e Visão Computacional: procuram obter a especificação dos componentes de uma imagem a partir de sua representação visual. Quando unida à síntese de imagens é chamada Realidade Aumentada.
• Visualização de Informação utiliza conceitos de Computação Gráfica para representar visualmente a informação de forma a tirar vantagem da capacidade cognitiva visual humana. Assim, a velocidade de processamento computacional é aliada ao sistema cognitivo visual propiciando um ambiente favorável a respostas rápidas ao fluxo de informação.

Na EMAp, temos trabalhado mais ativamente nas áreas de modelagem geométrica com aplicações em impressão 3D; Aplicações em preservação de herança cultural e acervos de museus; Visão computacional e Visualização de Informação. Os conceitos fundamentais de visualização de informação são estudados e utilizados como ferramenta de apoio em diversas pesquisas que se favorecem da análise visual de informação.

Finanças Quantitativas (ou, em inglês, Mathematical Finance) estuda modelos e métodos matemáticos com foco em aplicações em problemas de Finanças e Economia. Um dos marcos fundadores da área é a tese de doutorado de Louis Bachelier em 1900, intitulada "The Theory of Speculation". Nela, Bachelier, pioneiramente, estudou o movimento Browniano e o apreçamento de derivativos. Outro marco fundador é a publicação, em 1973, do artigo "The Pricing of Options and Corporate Liabilities:, de Fischer Black e Myron Scholes. Scholes, por trabalhos nessa área, ganhou, juntamente com Robert Merton, o prêmio Nobel de Economia, em 1997.

A pesquisa nessa área usa técnicas de inúmeras áreas da matemática, como Probabilidade, Processos Estocásticos, Equações Diferenciais Parciais, Estatística, Análise Numérica, entre muitas outras.

Em particular, professores da EMAp têm interesses na pesquisa dos seguintes tópicos:

• Modelos de Volatiliade Estocástica;
• Calibragem e estimação de modelos paramétricos;
• Path-dependence de instrumentos e modelos financeiros;
• Alocação de portfólio;
• Opções Reais